數列與數學歸納法

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設 \(n\, \epsilon \, N\) , 若 \(2^{3n+3}-7n+41\) 恆為正整數 \(m\) 的倍數, 則 \(m\) 有幾種不同的值?

(1)   1

(2)   2

(3)   3

(4)   4

(5)   5

通常遇到這類型的題目可以先將 \(n={\color{Green} 1},{\color{Green} 2},\: ...\) 代入觀察規律

\(\require{color}\)令 \(f(n)=2^{3n+3}-7n+41\)

\(\Rightarrow\) \({\color{Green} f(1)}=2^{3+3}-7+41=64-7+41={\color{Green} 98}\)

    \({\color{Blue} f(2)}=2^{6+3}-7\ast 2+41=512-14+41={\color{Blue} 539}\)

\(\require{color}\)令 \(f(n)=2^{3n+3}-7n+41\)

\(\Rightarrow\) \({\color{Green} f(1)}=2^{3+3}-7+41=64-7+41={\color{Green} 98}\)

    \({\color{Blue} f(2)}=2^{6+3}-7\ast 2+41=512-14+41={\color{Blue} 539}\)

可令 \(m\) 最大值為 \(P\)      已知 \(P\mid {\color{Green} f(1)}\) 且 \(P\mid {\color{Blue} f(2)}\) \(\Rightarrow\) \(P\mid {\color{Blue} f(2)}-{\color{Green} f(1)}\)

(即 \(f(1),f(2)\) 為 \(P\) 的倍數, 表示 \(f(2)-f(1)\) 也為 \(P\) 的倍數 )

\(\require{color}\)令 \(f(n)=2^{3n+3}-7n+41\)

\(\Rightarrow\) \({\color{Green} f(1)}=2^{3+3}-7+41=64-7+41={\color{Green} 98}\)

    \({\color{Blue} f(2)}=2^{6+3}-7\ast 2+41=512-14+41={\color{Blue} 539}\)

\({\color{Blue} f(2)}-{\color{Green} f(1)}=441=3^{2}\ast 7^{2}\)

因"3"不是 \(f(1)\) 與 \(f(2)\) 的因數, 而 \(7^{2}\mid {\color{Green} f(1)}\) 且 \(7^{2}\mid {\color{Blue} f(2)}\)

表示 \(m\) 的最大值可能為 \(7^{2}=49\)     "49" 的所有因數 1, 7, 49皆為 \(m\) 的可能值     A: 3 種

比較嚴謹的證明方法如下:

\(f(n)\) 與 \(f(n+1)\) 皆為 \(m\) 的倍數, 則 \(f(n+1)-f(n)\) 亦為 \(m\) 的倍數

\(f(n+1)-f(n)=(\, 2^{[3(n+1)+3]]}-7(n+1)+41\, )-(\, 2^{3n+3}-7n+41\, )\)

\(=7\ast 2^{3n+3}-7=7\, (2^{3(n+1)}-1)=7\, (8^{n+1}-1)=7\, ((7+1)^{n+1}-1)\)

整理後 "1" 可以消掉, 必為 49 的倍數