排列組合 重複排列

大家快遞有經理4位, 送貨員16位, 今年尾牙發送70支相同哀鳳手機, 若每位經理至少5支, 每位送貨員至少3支, 請問有幾種分法?

(1) 40

(2) 190

(3) 210

(4) 400

<解法一>
令\(x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4}\)表示四位經理各自拿到的手機數目, \(y_{1},\: y_{2},\: \cdots \: ,y_{15},\: y_{16}\)表示16位送貨員各自拿到的手機數目
此為重複組合問題, 已知 \(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+y_{1}+y_{2}+\: \cdots \: +y_{15}+y_{16}=70\) 根據題目可得 \((x_{1}-5)+(x_{2}-5)+(x_{3}-5)+(x_{4}-5)+(y_{1}-3)+(y_{2}-3)+\: \cdots \: +(y_{15}-3)+(y_{16}-3)=2\)
括號中的數值皆為非負整數, 代入公式可求非負整數解 \(H_{\: 2}^{\: 20}=C_{\: 2}^{\: 20+2-1}=C_{\: 2}^{\: 21}=210\)

<解法二>
先給每位經理每人5支, 送貨員每人3支, 還剩下2支, 任意分給20人
從20個人中選出2人一人一隻有 \(C_{\: 2}^{\: 20}=190\) 種方法
2支分給同一人有 \(C_{\: 1}^{\: 20}=20\) 種方法
\(190+20=210\) 總共210種方法

平面向量 分點公式

將\(\, \Delta ABC\,\)置於直角座標平面上, P 與原點 O 是該平面上相異的兩點, 且\(\, 6\, \overrightarrow{OP}=3\, \overrightarrow{OA}+2\, \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\,\), 若直線\(\, \overleftrightarrow{AP}\,\)與直線\(\, \overleftrightarrow{BC}\,\)相交於D, 則下列哪些選項正確?

(1)   O在\(\, \Delta ABC\,\)的內部

(2)   P在\(\, \Delta ABC\,\)的內部

(3)   \(\, \overline{BD}:\overline{CD}=1:3\,\)

(4)   \(\, \overline{AP}:\overline{AD}=1:2\,\)

(5)   若\(\, \overrightarrow{OQ}=6\, \overrightarrow{OP}\,\)則Q在\(\, \Delta ABC\,\)的外部